Extraño pero cierto: el infinito tiene varios tamaños

En la película de 1995 Toy Story, de Pixar, el juguete espacial Buzz Lightyear repite incansablemente su frase publicitaria: “Al infinito… ¡y más allá!” La broma, por supuesto radica en la suposición, perfectamente razonable, de que el infinito es un absoluto insuperable – es decir, que no hay un más allá.

Este supuesto, sin embargo, no es enteramente un sinsentido. Tal y como demostró el matemático alemán Georg Cantor a finales del siglo XIX, existen varias clases de infinitos – y unos, simplemente, son mayores que otros.

Tomemos, por ejemplo, a los así llamados números naturales: 1, 2, 3 y así sucesivamente. Estos números son ilimitados, de modo que el grupo, o conjunto, de todos los números naturales es infinito. ¿Pero cómo de infinito? Cantor empleó un argumento elegante para demostrar que los naturales, aunque infinitamente numerosos, son en realidad menos numerosos que otra familia común de números, los “reales”. (Este conjunto comprende a todos los números que pueden representarse como un decimal, incluso si la representación de ese decimal es infinitamente larga. Por ello, el 27 es un número real, lo mismo que ?, o 3.14159…).

De hecho, Cantor demostró que existen más números reales empaquetados entre el cero y el uno que el rango completo de los números naturales. Logró hacerlo mediante una contradicción lógica – o reducción al absurdo: asumió que estos conjuntos infinitos tenían el mismo tamaño, y luego realizó una serie de pasos lógicos para encontrar un defecto que trastocase esta suposición. Razonó que si los naturales y su subconjunto de reales del cero al uno, tuviesen un número igual e infinito de miembros, podría establecerse entre ambos conjuntos una relación de uno a uno. Es decir, que los dos conjuntos se podrían emparejar de modo que cada elemento de un conjunto tendría un – y solamente un – “socio” en el otro conjunto.

Pensad en ello de este modo: incluso en ausencia de un conteo numérico, las correspondencias numéricas de uno a uno pueden emplearse para medir los tamaños relativos. Imaginaos dos cajas, una con manzanas y otra con naranjas. Extrayendo una manzana y una naranja simultáneamente a cada movimiento, si los contenidos de ambas se acaban a la vez, el número de frutas en cada caja es igual; si las frutas de una caja se acaban antes, significa que en la otra caja el número de frutas es mayor.

Por esto, Cantor asumió que los naturales y los reales entre el uno el cero estaban en esta clase de correspondencia. Cada número natural n, tenía por tanto un socio real rn. Luego los reales podían listarse en el orden de su correspondiente natural: r1, r2, r3 y así sucesivamente.

Después Cantor comenzó a mostrar su lado astuto. Creó un número real, llamado p, mediante la siguiente regla: hágase un número ubicado n puestos detrás del punto decimal en p, tal que sea distinto al número en esa misma posición decimal en rn. Un simple método binario sería: elíjase 0 cuando el dígito en cuestión es 1; de otro modo elíjase el 1.

Por razones de demostración, digamos que el número real (r1) emparejado al número natural 1 es la componente decimal de ? (0,14159…), el (r2) emparejado al 2 es la parte decimal del porcentaje de votos recibida por Bush en el 2000 (0.47868…), y el (r3) asociado al 3 es el famoso porcentaje de 400 bateos conseguido por Ted Williams desde 1941 (0.40570…).

Ahora vamos a crear el p siguiendo la regla de construcción de Cantor: el número de la primera posición decimal no debería ser igual al existente en la primera posición decimal de r1, que es 1. De este modo elegimos el 0, y p comienza así 0,0… Luego elegimos el número en la segunda posición decimal de p, que no podrá ser igual al de la segunda posición decimal de r2, que es 7 (elegimos el 1 y p = 0,01…). Finalmente, elegimos el dígito en tercer posición decimal de p de modo que no sea igual a la correspondiente posición decimal de r3, que es 5 (elegimos de nuevo 1; p= 0,011…)

Continuando hacia abajo con la lista, este método matemático (llamado “diagonalización”) genera un número p entre cero y uno, que por su construcción difiere de todos y cada uno de los números reales de la lista en, al menos, una posición decimal. Ergo, no puede pertenecer a la lista.

En otras palabras, p es un número real sin un socio natural – una manzana sin su naranja. Por ello, la correspondencia uno a uno entre los reales y los naturales falla, ya que simplemente hay demasiados reales – “son incontablemente” más numerosos – lo cual hace de algún modo que el infinito de los reales sea mayor que el infinito de los naturales.

“La idea de que algo pudiera ser ‘más grande que el infinito’ supuso realmente un logro”, comenta Stanley Burris, profesor emérito de matemáticas en la Universidad de Waterloo en Ontario. “Teníamos el principio aritmético, pero a nadie se le había ocurrido hacer una clasificación interna del infinito; antes de eso simplemente pensábamos en él como un único objeto”.

El matemático Joseph Mileti, del Darmouth College añade: “Cuando oí hablar por primera vez acerca de este resultado y finalmente pude verlo, definitivamente fue algo que golpeó mis sentidos. Es uno de esos resultados cortos, dulces, y realmente sorprendentes”.

Traducido de Strange but True: Infinity Comes in Different Sizes (Scientific American).

Más información (en castellano) sobre la demostración de Cantor por diagonalización aquí.

53 Comentarios

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Wayfarer

Hombre, eso ya lo sabíamos nosotros desde el parvulario, cuando nos enredábamos con los amiguetes en esa larga que empezaba con “y tú más” y acababa con el aliento del contendiente al que le tocaba llegar al “y tu mil millones de millones de millones de infinitos y uno más”. 😉

Por cierto, mi infinito es más infinito que el tuyo…

— Wayfarer

morenmoren

Para nota: Los números racionales son, por supuesto, infinitos, pero ¿infinitos como los reales o infinitos como los naturales? (no vale mirar la wikipedia).

Por cierto, hay una leyenda urbana que dice que se volvió loco intentando demostrar si entre estos dos infinitos había algún infinito intermedio (más grande que el infinito de los enteros y más pequeño que el de los reales), pero la wikipedia lo achaca a diversas causas.

DamianJCarrasDamianJCarras

De hecho, la cardinalidad del conjunto de los naturales es Aleph 0, mientras que la cardinalidad del conjunto de los reales es Aleph 1

yastarabeyastarabe

pues a mí no me convence… creo que comprendo lo que se plantea en el texto, pero yo lo veo así: infinito es que no tiene fin, y bajo esta definición no se pueden plantear grados de intensidad, no pueden haber unos infinitos más grandes que otros, infinito se es o no se es… vaya rallada.

AuroraAurora

Estaba yo echando aquí una cervecilla en la terraza y leyendo este artículo. Y me surge una pregunta… ¿qué me decís de 2^{/Aleph_0}?

¿Además del término “contable” e “incontable” alguien me puede decir algo de los términos “numerable” y “no numerable”?

AlatristeAlatriste

No me ha quedado muy claro a que se refiere el texto, a lo mejor soy demasiado estupido para entenderlo. No le veo el sentido a asociar numeros naturales con los reales, por ejemplo entre 0 y 10 esta claro que hay mas numeros reales (infinitos, pero siempre se puede escalar los numeros naturales hacia arriba (de eso se trata el infinito no?)

Otro tema es que quiza el infinito exista solo como una idea generada en nuestros cerebros y que realmente no exista pero q importa eso. si alguien me puede aclarar de q coño estais hablando se lo agradeceria.

SrDelGaS

Muy interesante el artículo, lleno de lógica, directo, en fin, como debe ser, llegamos a una conclusión en principio sencilla pero que no se había planteado resolverla

zudozudo

Me quedado zombie. A ver, no se si lo he pillao, la idea seria comparar una botella 1 litro de fairy normal y una botella de 1 litro de fairy concentrado.

Hacemos la similitud “1 litro”=infinito

Pero en el concentrado logicamente hay mas espuma, aunque ambos son “un litro = infinito” y por 1 gota de normal hay 1 gota de concentrado.

Yo lo veo asi.

kikorbkikorb

“Se puede escalar los numeros naturales hacia arriba”, pero para ellos ya existe su pareja real. No puedes conseguir un natural que no tenga su compañero real, pero al revés sí. Es así de sencillo: tienes infinitos naturales (que son ladrones) y para cada uno un real (policías). La idea es que aunque haya infinitos ladrones, todos tienen un policía al lado, mientras que sí puedes encontrar polícias sin ladrón.

Ya había oído algo así antes, pero la exposición en este post es sencillamente genial. Gracias por el rato de reflexión. Y por cierto que a los que han comentado no entenderlo, les animo a que lo relean más despacio antes de entrar en discusiones interminables (que no infinitas).

MinhatoMinhato

Me has evocado el recuerdo de mis primeras lecciones en la Facultad de Matemáticas, cuando la profa de Topologia nos hizo esta misma demostración … a mi me emocionó conocer esta verdad, y hoy en dia, que soy matemático y profesor de matemáticas, juego con ella para bromear y hacer ver a algún profano que hay unas matemáticas más allá de lo doméstico que son difíciles de imaginar.
Ciertamente, es uno de los resultados mas extraños y bonitos de las matemáticas, que contradice al sentido común, y que se relaciona con algunas de las cuestiones más apasionantes de esta disciplina, como la hipótesis del contínuo y los teoremas de Incompletitud de Gödel.
Y que contrariamente a lo que piensen yastarabe o Alatriste, es un resultado que se enseña en el primer curso de cualquier facultad de ciencias y es tan cierto como que 1+1=2. La demostración la teneis en el post …

Sergio Alvaré Peláez

Está haciendo una biyección entre dos conjuntos para comparar su tamaño, eso está en un libro que tengo por acá: “Teoría de autómatas y lenguajes formales” por si alguien le quiere echar un vistazo. Creía que eso se daba también en informática, en “matemática discreta”.

“infinito se es o no se es… vaya rallada.”
Pues no, por ejemplo, al menos en cálculo de primero de teleco, estudias series y convergencia, y unos infinitos tirán más que otros por lo que un infinito entre otro puede darte cero.
Y no es ninguna rallada, esto no es “el tomate”.

Soy bastante lego en la materia así que no sirvo para discutir sobre este tema, y a lo mejor hay alguna mentirijilla por ahí camuflada 😉 que se me escapa, pero es interesante el post.
Un saludo.

DomingoDomingo

Absurdo
.
Buscando en razón
fundamentos del ser,
tormentas oscuras
mareas de viento,
llegan, arrastran,
sin huella
no se puede vivir.
.
Vida encadenada
muerte en libertad,
encadenad a la muerte
a la vida libertad.
.
Incógnita eternizada
prisión de la verdad,
descifrar un pasado
un futuro revelar,
Se levantan fundamentos,
duramente se alcanzan,
contrariamente se derrumban.
.
Locuaz pensamiento
estupida mirada
sufrir y callar
.
Mas vencida el alma
lloran los sentidos,
tratan las conciencias
de saltar inhumanos errores.
Mujeres y hombres
contra existencia
en lucha desigual
.
Vida encadenada
muerte en libertad,
encadenad a la muerte
a la vida libertad.
.
Si el infinito existiera
el finito desaparecerá,
siendo la nada infinita
al no poderla abarcar.
Dios: terrible asesino.
Nada: Terror sin habla.
Eternidad: retorno sin causa.
.
Locuaz pensamiento
estupida mirada
¿Sufrir y callar?
.
Vida encadenada
muerte en libertad,
encadenad a la muerte
a la vida libertad.
Locuaz pensamiento
estupida mirada.
Callar y sufrir
absurdo.
..
Ormux

selrak

A ver, para los que crean que todos los infinitos por serlo son del mismo “tamaño”:
Imaginad dos cajas, en una estan todos los números naturales {0,1,2,3,4,5….} y en otra todos los números naturales pero solo los pares: {2,4,6,8,…}. Las dos cajas contienen un número infinito de elementos pero intuitivamente sabemos que una continene el doble de elmentos que el otro, ya que por cada numero par hay tambien uno impar. Es decir, las dos cajas contienen infinitos elementos aunque en una hay el doble que en el otro. Y si, a mi también me parece paradójico

Fernando CondeFernando Conde

Para Sergio…

Efectivamente, se da informática, en matemática discreta, en un apartado llamado Cardinales Transfinitos. Sin embargo, te voy a hacer una corrección, si me permites :)…

El tema de la convergencia no es lo mismo que lo de los cardinales transfinitos… Cuando se calculan límites no es ‘infinito entre infinito’, sino ‘algo que tiende a infinito entre algo que tiende a infinito’. La diferencia es importante… Se ve en el caso del ‘0’: 0 entre 0 no existe, pero ‘algo que tiende a 0′ entre ‘algo que tiende a 0′ sí que existe… Puede ser desde 0 hasta infinito, según la fuerza de los elementos que participan.

josejose

no le veo una gran trascendencia a todo el asunto, es más, parece hasta obvio que el cardinal dl conjunto de nºs naturales sera mucho menor que el cardinal de los nºs reales, partiendo directamente de la base de que entre dos nºs naturales existen infinitos nºs reales…

Maikelnai

En efecto la afirmación de que hay más R que N es intuitiva, pero lo interesante del artículo es hablar de la ingeniosa manera que Cantor tuvo de probarlo matemáticamente. Me pareció sencillo y elegante, y de ahí que me decidiera a hablar de ello.

zorglubzorglub

selrak, resulta que los dos conjuntos que expones son infinitos del mismo tamaño. Se puede establecer una correspondencia sencilla, de modo que a cada elemento de un conjunto le corresponde uno (y sólo uno) del otro y viceversa, con lo que se demuestra que hay el mismo número de elementos en ambos conjuntos. En ambos casos hay Aleph 0 elementos. A pesar de que resulte contrario a la intuición…

AlatristeAlatriste

Me sigue pareciendo un mal uso del lenguaje, y que no tiene ninguna importancia y no es nada “asombroso”. Esto tiene validez cuando se calculan limites o necesitas saber cuan rapido crece algo hacia el infinito, pero no que haya un infinito mayor que otro lo cual es absurdo. El tema de que para un numero natural haya un compañero numero real y que a la inversa no sucede, es porque para una cifra dada siempre va a haber limitados numeros naturales cuando los reales son infinitos. Entre el 0 y el 1 hay infinitos numeros reales, y entre el 0 y el 2 hay ¿(2x) infinitos numeros reales? NO. Esto tiene importancia en el calculo de limites pero no puedes afirmar algo tan estupido como eso. Por ejemplo dividimos en partes cada vez mas pequeñas, entre el 0 y el 2 habra siempre el doble de numeros reales que entre el 0 y 1. Pero cuando se divide en infinitas partes no se puede decir 2x infinitos porque las operaciones matematicas pierden su funcion.

gustavogustavo

La cantida de naturales y la cantidad de naturales pares es la misma. Si puedo formar parejas (manzana ynaranja) ya esta, o dicho de otra manera, si dado un elemento de conjunto puedo hallar uno y solo uno del otro que es su pareja. Para los naturales pares es facil, o multiplico por dos o divido entre dos. Con esas dos formulas, siempre puedo encontrar el correspondiente en un conjunto dado un elemento del otro. Si no, encuentren uno para el que no se pueda encontrar el correspondiente, tal como hizo Cantor.

WillyGWillyG

Mmmm… que bueno pensar… pero yo también opino que infinito es una única medida, lo que se demuestra matemáticamente en el ejemplo es simplemente (creo) que un infinito contiene a otro, lo cual es perfectamente lógico si pensamos que todo grupo infinito se contiene a si mismo y a cualquier grupo. Es como si recorrieramos infinitamente el Ecuador y un Trópico, y pretendieramos decir que el viaje por el Ecuador fué más largo…

PolPol

Estoy de acuerdo con los que afirman que no puede haver infinitos mas grandes que otros. Pero se que no es mas que una opinion de alguien ignorante del tema.

Creo que comparar 2 cantidades (o tamaños) solo se puede hacer desde una perspectiva que limite tales cantidades si no perdemos la nocion de lo que ya decimos. Que un infinito sea mas denso no tiene porque significar que uno sea mayor que otro, porque ya dejaria de ser infinito.

Aunque no miento que la otra perspectiva tiene su punto y a veces me hace dudar, pero de seguida se me disipa la duda.

En mi humilde opinion, el termino infinito no es mas que una abstraccion, y si no lo es, seguramente queda fuera de nuestras posibiliades manejarlo objetivamente, o en otras palabras, llevar a cabo semejantes razonamientos siempre dara unas conclusiones, excluyentes quiza, pero no por eso una mas valida que la otra.

Por lo tanto, nadie tiene razon, y sin embargo todos la tienen, contentos? 😉

Germán

Hola, creo que el problema real estriba en la compresión del infinito.

Cantor asume que esta lista de números es finita.

Vamos a suponer que tenemos una lista infinita de números. Si por medio de diagonalización obtenemos un número nuevo, entonces éste debe tener una longitud infinita o igual al último número de la lista (en caso de considerarla finita, como Cantor) Sin embargo esto no restringe que dentro de la lista ya se encuentre el número encontrado.

Hay que revisar el concepto de infinito, que a mí tampoco me convence del todo.

AlatristeAlatriste

Yo creo que lo que hay que tener claro es que lo se entiende por infinito. Es un concepto de algo en su maxima expresion, que no tiene fin, ya sea el tiempo, el espacio o la salazon del mar. Que exista o no, no lo se, desde luego no soy capaz de imaginarlo. Al igual que la nada, no soy capaz de imaginar en algo q no sea nada xD (vaya ida de olla). Lo de Cantor me parece una memez y que no tiene nada que ver con el infinito. Genial la metafora de WylliG. ¿Quien recorre mas distancia, uno que da vueltas alrededor del ecuador infinitamente, o yo rodeando los polos tb hasta el infito y mas alla?

OmarOmar

Es tan fácil como darse cuenta que el infinito no sólo es hacia fuera, sino hacia dentro. Tal vez no hable de matemáticas ni sepa mucho sobre la materia como otras personas, pero al principio se creía que era el átomo el bloque base de todo lo que se conocía, luego se dieron cuenta que estaba formado por partículas, luego, que esas partículas estaban formadas por otras más pequeñas y así…
El infinito, pues, no es unidireccional, sino que es uno y muchos a la vez, pues está interconectado. Vaya, estoy viajándome, pero no estoy muy lejos.
Dialéctica.

DarkholmeDarkholme

Me ha recordado a la explicación que me dió un profesor de mates sobre qué tenía más puntos: una recta o una circumferencia.

El número de puntos en ambos es infinito, sin embargo la circumferencia tiene siempre 1 más. También demostró haciendo correspondencias, aunque no de una manera poco rigurosa.

Me pareció bastante curioso 😉

DarkholmeDarkholme

joer que de faltas: circunferencia con n, y la penúltima frase debería ser así: “También lo demostró haciendo correspondencias, aunque de una manera poco rigurosa”

MinhatoMinhato

Pues estais muy equivocados los que escribis los últimos comentarios.
El concepto de infinito está muy claro en matemáticas, es absolutamente firme y no necesita ninguna revisión tal como se entiende ahora (*)
De hecho, el ejemplo de los números naturales conteniendo a los pares sirve para explicar lo que se entiende por infinito en matemáticas: un conjunto tiene infinitos elementos cuando se puede poner en correspondencia con un subconjunto propio de él (subconjunto propio es aquel que está contenido en el conjunto de partida pero es más pequeño que él). Podemos poner en correspondencia biunívoca los naturales y los pares: a cada n natural le asocio 2*n que es par. Así tenemos que los pares son subconjunto propio de los naturales (¡son la mitad!), pero al poder ponerlos en correspondencia, son tambien la misma cantidad. Esto solo puede ocurrir (por definición) cuando el conjunto es infinito.
El mismo ejemplo ocurre en el caso de los reales situados entre 0 y 1 y el conjunto situado entre 0 y 2. Pero en estos casos probaríamos que ambos conjuntos son infinitos … pero no cuan infinitos son entre ellos.
En el artículo se prueba que hay conjuntos infinitos que no pueden ser puestos en correspondencia entre si, de lo que se deduce que ambos infinitos son de distinta “categoría”, y por lo tanto unos infinitos son “infinitamente” más grandes que otros. Es el caso de los números reales y los naturales, o el equivalente de los números entre 0 y 1 y los naturales. La demostración no es evidente para alguien no habituado al razonamiento estrictamente lógico (lo siento, pero es así) y las buenas explicaciones de nuestro anfitrión Maikelnai no son suficientes para hacer ver este resultado.
Maikelnai, te sugiero, si deseas mejorar aún más la comprensión de estes conceptos, que añadas algún dibujo y esquema al texto.

Y repito, esto es tan cierto como que 1+1=2.

(*) EMHO, la definición de infinito puede que deba ser revisada a la hora de afrontar el problema de la hipótesis del contínuo.

PolPol

Minhato, no se que definicion le habran dado al termino ‘infinito’ los matematicos mas recientes, pero etimologicamente infinito no es mas que in (no) – finito (fin), es decir, que no tiene fin.

Cito tus palabras: un conjunto tiene infinitos elementos cuando se puede poner en correspondencia con un subconjunto propio de él

Seguramente estamos hablando de dos cosas distintas bajo un mismo nombre (de un concepto equivoco, en otras palabras). Bajo mi postura, no creo que haya la menor duda de que no puede haber infinitos mas grandes que otros, es que simplemente no se puede!

ES muy simple, una cantidad es infinita o no lo es… no un poco mas infinita, o infinitamente mas infinita, no tiene sentido!

AlatristeAlatriste

El tema esque una cantidad dada nunca puede ser infinita como dice Pol. El infinito es simplemente un concepto inalcanzable, interminable de una maxima a la que no se puede llegar.

Javier G.C.

La demostración es estrictamente correcta, y precisamente lo maravilloso de ella es que rompe la “traba mental” de pensar que “una cantidad es infinita o no lo es, y lo demás no tiene sentido”.

En matemáticas el infinito se define desde la teoría de conjuntos, y es más o menos así: “Un conjunto es infinito cuando puede existir una relación biunívoca entre éste y un subconjunto propio de él”. Y claro, solo lo pueden cumplir los conjuntos que no tienen fin, tal y como la definición etimológica de “infinito” dice.

Germán se equivoca por completo. Cantor no asume en lo absoluto que la lista es finita, y el método de diagonalización IMPLICA que el número real generado no está en la lista. Precisamente eso es lo fuerte de la demostración. Demuestra que puede existir un número real que no puede ser asociado a ningún “natural” porque ya “se usaron todos”.

Tampoco tiene que ver con “densidad” como dice Pol. Tal y como se explicó. El conjunto de los números pares es menos denso que el de los números naturales, y a pesar de ello, ambos conjuntos poseen la misma cardinalidad, el mismo “número” de elementos. (En realidad es incorrecto decir que tienen el mismo “número” porque es infinito).

PolPol

Javier, tu estas mas enterado del tema al parecer pero creo que nuestra divergencia se halla en la siguiente cita tuya:

“puede existir un número real que no puede ser asociado a ningún “natural” porque ya “se usaron todos”.”

A eso me refiero.
¿Acaso se pueden “usar todos” los numeros de un conjunto infinito que no sea limitando la cantidad? ¿Acaso se pueden llegar a gastar todos los numeros de un conjunto infinito?
Creo que cuando llegais justo a este punto perdeis la nocion de lo que significa infinito.

Pero claro, los que no usamos palabras como “biunívoca” o “biyección”, somos los que tenemos una “traba mental”.

AlatristeAlatriste

El tema esque los numeros REALES contienen 2 tipos de infinito a la vez, pero no que su infinito sea mayor lo cual es estupido. Tambien es completamente logico que este conjunto comprenda los numeros naturales y otros numeros que no son naturales (su misma definicion lo dice, comprende naturales, enteros y decimales(irracionales)!!!!). Pero no me vale lo de “en matematicas infinito es blabla” porque a lo mejor habria que revisarlo. El 1º infinito refiere a una maxima cantidad siempre superable, inalcanzable, es el infinito de la cantidad o tamaño(tengo 2 pelotas, tengo 3, etc) que es el mismo de los naturales . El 2º infinito refiere a la minima cantidad posible cuyo limite es el 0, es el infinito de lo minimo o de la exactitud. Es exclusivo de los numeros REALES, porque incluye la idea de que la unidad no es el minimo tamaño posible y que puede ser infinitamente pequeña. (dejamos de momento los numeros enteros, negativos). !!Por eso cuando cogemos un intervalo cualquiera, por pequeño que sea, existen limitados numeros naturales e ilimitados numeros REALES!! pero no podemos limitar los naturales a un intervalo, porque son un conjunto y son infinitos!!!! LOS 2 CONJUNTOS SON INFINITOS, Y EL INFINITO NO TIENE GRADOS NI DISTINTOS TAMAÑOS

AlatristeAlatriste

Otra cosa que olvidaba, igualmente que limitamos los naturales cogiendo un intervalo cualquiera. Tambien se pueden limitar los reales eligiendo la cantidad maxima de decimales. Javier G.C, seguramente sabes mas matematicas que yo, la verdad esque no me interesan, prefiero otras cosas, pero no olvides de donde salen las matematicas, de la razon humana, no te cierres y razona tu opinion.

KattyKatty

me agrado el texto y me hizo pensaar XD
aunq = concuerdo q el infinito es infinito y buscarle la 5º pata al gato…:S para q :S
en fin…!
cada loko con su tema… :)
asi somos los cientificos no mas ajaaj

Lorenzo

Me guistó el concepto de densidad de un conjunto… me hizo acordarme de mis primeros días en la universidad y mis amigos N Z Q R C y demases (léanse todos con doble línea a la izquierda ;))

Me parece razonable que en infinito real sea más denso que el natural, ya que por cada elemento en N hay infinitos en R pero eso no indica que un infinito sea mayor que el otro.

Alatriste… ten cuidado de no caer en la singularidad de pensar en los números reales en simplemente una representación en 32 o 64 bits (vaya conjunto finito!) 😉

saludos!

PD: la solución es x = | 1/0 + 0/0 | ajajajaj

javijavi

propongo sustituir el concepto INFINITO por el de FINAL INDEFINIDO o INDEFINITO jeje. Creo que con esta modificacíón, si que se puede decir por ejemplo que el conjunto de los numeros pares es INDEFINITO pero menor al conjuto de todos los números naturales, tambien INDEFINITO. Y tambien que el conjunto de los numeros reales es mas INDEFINITO que el de los naturales. No se si me explico bien, pero pienso que decir, por ejemplo, que el conjunto de los Numeros Naturales es de Tamaño Indefinido es mas entendible y se ajusta mucho mejor a la realidad que suponer que dicho Tamaño es Infinitamente grande, pues nadie nunca ha podido demostrar tal cosa. (nadie ni nada se ha puesto a contar del cero al infinito y no ha muerto en el intento, jeje)

Axel

me he aficionado a este blog, tenngo 15 años

y como este post hay cosas de las ke no entiendo ni papa, alguien podria explicarmelo un poco “posfavor”?

dnadevdnadev

Veamos, esto me alegra mucho :-D. Una vez se lo plantee a un profesor de la Universidad y me trato de loco o estúpido, ahora tengo con qué defenderme xD. Le había hecho una comparación parecida, pero no tan compleja y “demostrable” como la de este señor.

Dos cosas, entre ellas los números y el TAMAÑO, son iguales si A=B y, por muy obvio que parezca, B=A.

Tenemos 2 conjuntos, los Enteros y los Reales.

Ahora hagamos la relación entre ambos conjuntos:
“A cada elemento del primer conjunto le corresponde un número cualquiera del segundo”

De esta manera podemos asociar a cada valor x del primer conjunto con otro valor x del segundo conjunto.

1) Si tenemos que asociar a cada elemento de A (Enteros) un elemento de B (Reales) “no hay problema”, ya que:


-100000000000 se relaciona con -100000000000
-99999999999 se relaciona con -99999999999
-99999999998 se relaciona con -99999999998

-3 se relaciona con -3
-2 se relaciona con -2
-1 se relaciona con -1
0 se relaciona con 0
1 se relaciona con 1
2 se relaciona con 2
3 se relaciona con 3

99999999998 se relaciona con 99999999998
99999999999 se relaciona con 99999999999
100000000000 se relaciona con 100000000000

Es decir “cada número Entero está ocupado o en pareja con uno real”.

El problema surge cuando hacemos “la vuelta” (como un “si y solo si” de Álgebra), es decir, si queremos hacer lo mismo entre los Reales y los Enteros.

2) Veamos si cada elemento Real está “ocupado” con un elemento Entero:


-100000000000 se relaciona con -100000000000
-99999999999 se relaciona con -99999999999
-99999999998 se relaciona con -99999999998

-3 se relaciona con -3
-2 se relaciona con -2
-1 se relaciona con -1
0 se relaciona con 0
1 se relaciona con 1
2 se relaciona con 2
3 se relaciona con 3

99999999998 se relaciona con 99999999998
99999999999 se relaciona con 99999999999
100000000000 se relaciona con 100000000000

Si estos puntos supensivos se extienden por el infinito, entonces los números reales sin decimales están “ocupados” con un número entero. Es como si se “terminaron” los números enteros.

Entonces, ahora…¿ Con quién se ocupa o se asocia el 1,1? Como los números enteros ya están ocupados (por 1 y 2), cualquier número decimal carece de pareja o socio. Entonces los Reales ya son “más” que los enteros en al menos 1 elemento, pero como entre 2 números enteros cualesquiera existen infinitos números reales, el conjunto de elementos de los reales está formado por una cantidad infinitamente “mayor” a la cantidad de elementos de los enteros.

Esa es una manera mas “tosca” de explicarlo creo yo.

También se puede explicar con frutas:

Tengamos en cuenta entre 0 y 1 hay infinita cantidad de números, así también entre 1 y 2, entre 2 y 3 y así…

Supongamos que dos personas José (Enteros) y Pedro (Reales) tienen 2 canastas y tienen que meter manzanas dentro de ellas.

Las canastas están vacías, es decir están en cero. Entonces si José pone la primer manzana en su canasta, Pedro pondrá infinitas manzanas. Cuando José pone la segunda manzana, Pedro pone otras infinitas manzanas. Y así infinitamente. No es necesario imaginarnos a José y Pedro metiendo manzanas durante toda la eternidad, ya con suponer que José puso 3 manzanas…¿Cuántas manzanas habrá metido Pedro? Pues la diferencia es enorme, es realmente infinita.

Bueno, espero haber podido explicar con claridad el tema. De todos modos, es una simple explicación dinámica, no demuestra nada (creo xD).

PD:MUY interesante el Blog. Directo al Marcadores de mi Konqueror 😉

alexalex

la verdad es que de demostraciones matemáticas no sé, pero por lo que entiendo y con base en lo que he leído (desde russell hasta borges, quienes han estudiado el problema del infinito), en realidad la sola intuición de un infinito creciente, contrario a la clásica de un infinito estable, legitima la “infinitud” del infinito. si tenemos una caja con números pares y la otra con todos los naturales, parece obvio imaginar que en la segunda hay lo doble, pero igualmente nunca terminaría con ninguna caja. russell (basado en las paradojas de zeón) afirma que si podemos intersectar una recta con otra y luego la recta resultante con otra, podemos tener infinitos puntos en cada recta, no importa el tamaño: una línea de 10 centímetros es igualmente divisible infinitamente que la órbita completa del planeta tierra. esto no complica la idea del infinito: la aclara. el infinito no es estable, por el contrario: infinitamente creciente.

verovero

Tengo una pregunta para mi tarea si alguien la sabe diganmela pronto porfa! esta es la pregunta… Los numeros negativos son numeros naturales?

ildefonsoildefonso

Veo que casi nadie a entendido nada.A ver,IN tiene un tamaño,se puede enumerar consigo mismo y claro,cualquier funcion g:IN–>Q biyectiva es numerable,ya que
el recorrido de estas funciones es numerable.¿Pues donde esta el problema?Se puede construir una funcion de IN a Q inyectiva que enumere totalmente a Q.Luego Q tiene cardinal igual a IN.Segun la rama del analisis matematico,la topologia,Q es denso en IR lo que implica que entre dos reales existe un racional y viceversa.Pero no existe una funcion de IN a IR biyectiva,que si no os habeis dado cuenta,es la piedra angular de las demostraciones de Cantor para demostar la cardinabilidad de IN,Z y Q.La clave es encontrar funciones biyectivas entre IN y el conjunto que queremos comparar.Asi,no existe tampoco una funcion biyectiva entre IN y P(IN).Esto que quiere decir?Que el numero de subconjuntos de IN es mayor
que IN.Osea,que card(IN)

JaimeJaime

Estimados estudiosos, los felicito por el buen trato que se dan en este blog.

Yo no soy un matemático, al menos de acuerdo a su definición estaándar, poresa razón es muy difícil para mi pensar en que las cosas son absolutas y estáticas.

El Universo (lo de afuera), todo lo que vemos y palpamos contra toda inmensidad de nuestro propio sentir y pensar ¿Qué es más infinito?

Soy ingeniero en el área de los negocios, y desde mis pimeros años de estudio de mi carrera me llamó la atención, de que la base de la fuerza de un sistema se basa en en que la suma de sus partes es mayor que la de sus partes por separado.

Amigos para mi el infinito es una forma de expresar aquello que aún no podemos imaginarnos aún. Ahí radica lo bello del razonar y por eso los felicito, cuando nos expliquemos el infinito o eterno, conoceremos a Dios y viviremos con Él.

Les dije no soy un matemático como se entendería normalmente, pero estoy convencido de que en la medida de que nuestro entender mejore, podremos descubrir nuevas herramientas matemáticas o de cálculos para expresar aquello que ni siquiera podemos imaginar.

Em mi país, Chile, hay un programa de TV que se llama La Belleza de Pensar. Por favor, sigan adelante meditando y pensando estas cosas. Den cabida a lo inimaginable en sus mentes, si lo hacen, podrá ver que estamos sujetos a leyes que han sido diseñadas para esta esfera. Sólo con sus mentes podrán salir de esta esfera para ver que hay más allá…..¿del infinito? Es muy posible.

Un a brazo, éxito !!!!!!!!

JaimeJaime

Amigos quisiera abundar un poco en mi reflexión anterior.

Me parece de por sí extraordinario que Cantor pudiera, primero imaginar la posiblidad de crear u organizar un número inexistente como el “rea P”. No estoy en posición de cuestionarlo, pero, me doy cuenta que es una piedra en el zapato para muchos ortodoxos o conservadores de las matemáticas y las ciencias.

Ahora, el hecho de pensar en lo inimaginable (P) y después formular el pensamiento, me parece sencillamente extraordinario. No estoy diciendo que la formulación es correcta, pero sí creo que el hecho de sentir o filisofar sobre un sentimiento o percepción y después tratar de demostrarlo empíricamente o teóricamente, me parece de una validez extraordinaria. Creo que la fortaleza de las pruebas teóricas o empíricas, se basan en la mejora contínua de estos cálculos y pruebas.

Razonando lo pequeño o infinitesimal. Alguien en algún momento demostró u organizó el “cero”, posiblemente por mucho tiempo el Hombre vivió sin tener la necesidad de formular o representar la “nada”. Mi pregunta es: ¿Que es más difícil? Comprender la existencia numerica de la “nada”, es decir “cero” o llegar a calcular los límites inimaginables de la existencia de cualquier cosa, incluídos nosotros.

Bajo mis creencias o pensando en lo inimaginable, la “nada” no existe, sin embargo es posible demostrar matemáticamente que el “cero” existe.

Amigos, no será que los conceptos de la nada e infinito, lo estamos aplicando en un contexto que no corresponde. Porque, lo increíble de todo esto es que el “cero” es la representación de algo infinitamente pequeño. Bueno la otra pregunta es ¿Qué tan pequeño?

Entiendo como materia básica de cálculos, qué se entiende por “tender a cero” o por “tender a infinito”, es decir, tiende sin que jamás llegue a cero o a infinito.

Es fácil de comprender, tal vez la tendencia al cero. Uno puede decir jamás voy a ser nada, por que lo conozco, es cero.

En el caso del infinito, jamás lo hemos calculado, pero afirmamos que algo puede tender al infinito. Ahora ¿cómo puedo tender al Norte si no lo conozco?

Por esta razón creo que el infinito es mensurable, en estos momentos la única medida que conozco, es el término “Más allá”.

Ya en los círculos científicos se habla de los posibles límites del Univrso, por supuesto sin mayor explicación, algo muy difuso. Esto es bueno, porque la abundancia de conocimiento es tal en la actualidad, que los pensadores están saliendo a pensar más allá de lo “logico”, talvez, de la caja mayor

Hasta hace muy poco se hablaba del “vacío” del espacio, incluso al extremo de decir que entre los objetos celestes existía la nada, sin embargo hoy sabemos que esas áreas están ocupados por materia y energía oscura. Antes era nada, cero. ¿Cuál fué la fuente del error del cálculo? Las herramientas de cálculo y observación.

Alguiendijo por ahí en este Blog, tal vez debamos repensar las matemáticas.

Me gusta la idea de pensar en lo inimaginable, porque al final, siempres nos damos cuenta que lo inimaginable eran cosas que estaban esperando ser descubiertas.

Quebrar los esquemas (paradigmas), nos permite volar, vivir con paradigmas sólo nos permite viajar por buenas carreteras, jamás mirar desde el cielo.

Un abrazo de nuevo y no se desanimen.

Jaime

IgnaciusIgnacius

Ya que hablamos del infinito.
Sabeis si hay alguna operacion matematica, cuyo elemento neutro sea el infinito.?

JaimeJaime

No he visto una operación tal, hasta ahora.

Creo que primero deberíamos ponernos de acuerdo a qué nos referimos como elemento neutro. No es que no entienda tu pregunta, es más que nada para saber si la formaulación matemática sería clásica o no.

Me explico, un elemento neutro es aquel que al interactuar en determinada operación no altera el resultado, además cumple con la propiedad conmutativa. Lo interesante de esto, es que el elemento es distinto dependiendo de la operación, suma o multiplicación.

Creo que para razonar una expresión matemática donde el infinito sea un elemento neutro, habría que determinar o descubrir el tipo de operación.

Ahora desde mi punto de vista, el cual es que creo que el infinito es mensurable. Sólo que saber el valor del infinito, significa saber cuál es la frontera de nuestra esfera de existencia. Basado en ésto, es poco probable que el infinito pueda ser “neutral”

Uno de tus colegas (alex) expresó que para él, el infinito es siempre infinito o sea estable. En otras palabras, segun él, infinitamente creciente.

Ahora yo le pregunto a Alex, cómo algo inifito puede ser creciente. Lo único que puede crecer es algo que tiene una medida previa, es un parámetro con el cual te puedes medir. Ayer fuí, hoy soy más.

Él (Alex), a pesar de que lo que afirmó es para decir que el infinito es no mensurable, con sus palabras afirma lo contrario.

Por eso que mi concepto del “más allá”, tiene que ver con esto que hablamos, el infinito de nuestra esfera, es el comienzo de otra mayor.

Pra algunos nuestra esfera es este universo. Amigos les aseguro(sólo como intuición), que este universo tiene límite, ese es nuestro infinito.

Entonces, de cuál infinito estamos hablando. De éste que ni siquiera imaginamos o de los otros infinitos con leyes diseñadas especialmente y que no hemos descubierto.

Saludos.

johanajohana

hola soi johana y queria saber una pregunta que me dieron en el cole pero entre a todas las paginas que pude y no encontre nda la pregunta era:
por que decimos q el universo es infinito??
o……… cual es mas grande (ordenar de mayor a menor)entre:
sol-tierra-via lactea-el brazo de uron-etc
y no encontre nada yo les queria decir que agreguen cosas sobre esto a esta pagina o que armen una nuev con algo de eso por fabor .

desde ya muchas gracias.

Johana

DieguinDieguin

Pues a mi me parece que se puede ver con un ejemplo muy sencillo.
Si se lanza un dado infinitas veces, el número de veces que salga 6 ( o cualquier número) es infinito, pero el numero de veces que lanzas el dado es mayor.

nphes

Dieguin tu respuesta me parecio extremadamente simple pero sorprendente, un adulto lo pasaria de frente tal vez un niño notaria lo encantador y extraño que es pero a decir verdad ya estoy muy grande me cuesta trabajo comprender el metodo de Cantor (la diagonalizacion) creo que necesito acostumbrarne a ello
Saludos

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Extraño pero cierto: el infinito tiene varios tamaños

En la película de 1995 Toy Story, de Pixar, el juguete espacial Buzz Lightyear repite incansablemente su frase publicitaria: “Al infinito… ¡y más allá!” La broma, por supuesto radica en la suposición…

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